Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點P為AD延長線上一點，連接AC、CP，過點C作CF⊥CP于點C，交AB于點F，過點B作BM⊥CF于點N，交AC于點M．

（1）若， ，求；

（2）若，求證： ；

（3）如圖2，在其他條件不變的情況下，將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且 AB≠BC，AC=AP，取CP中點E，連接EB，交AC于點O，猜想：∠AOB與∠ABM之間有何數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質得出AB=BC=CD=5∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S△ACP；（2）在CF上截取NG=FN，連接BG，則CF-CG=2FN，證出∠BCF=∠DCP，由ASA證明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，證出CG=BM，由SAS證明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由線段垂直平分線的性質得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出結論；（3）連接AE，先證出∠BCA=2∠PAE，再證明∴A、D、E、C四點共圓，由圓周角定理得出∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，證出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性質即可得出結論．

試題解析：∴AD∥BC,AB=BC=CD=5,∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90，

∴AC= =，

∴AP=AC=×=，

∴S△ACP=AP×CD=××5=;

(2)證明：在CF上截取NG=FN，連接BG，如圖1所示：

則CFCG=2FN，

∵CF⊥CP，

∴∠PCF=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

在△BCF和△DCP中, ，

∴△BCF≌△DCP(ASA)，

∴CF=CP，

∵CPBM=2FN，

∴CG=BM，

∵∠ABC=90°，BM⊥CF，

∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，

在△ABM和△BCG中, ，

∴△ABM≌△BCG(SAS)，

∴∠AMB=∠BGC，

∴∠BMC=∠BGF，

∵GN=FN，BM⊥CF，

∴BF=BG，

∴∠BFG=∠BGF，

∴∠BMC=∠CBM，

∴BC=MC；

(3)∠AOB=3∠ABM；理由如下：

連接AE并延長，交BC的延長線于點G，如圖2所示：

∵AC=AP，E是CP的中點，

∴AE⊥CP，PE=CE，∠PAE=∠CAE，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，∠PAE=∠G，

∴△APE≌△GCE，

∴AE=GE，

∵CP是AG的垂直平分線，

∴BE=GE，

∴∠G=∠CBE，

∵CF⊥CP，

∴AG∥FC，

∴∠G=∠BCF，

∵∠PCF=90°,∠BCD=90°，

∴∠BCF=∠DCP，

∴∠CBE=∠BCF，

∵∠ABM+∠BFC=90°,∠BCF+∠BFC=90°，

∴∠ABM=∠BCF，

∴∠CBE=∠ABM.

∵∠DCP+∠P=90°,∠PAE+∠P=90°，

∴∠DCP=∠PAE，

∴∠BCF=∠PAE，

∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，

∴∠BCA=2∠ABM，

∵∠AOB=∠CBE+∠BCA，

∴∠AOB=3∠ABM.