Question

【題目】已知，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，AC是⊙O的直徑．

（1）如圖1，若∠BAC＝25°，求∠P的度數；

（2）如圖2，延長PB、AC相交于點D．若AP＝AC，求cosD的值．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）cosD＝．

【解析】

（1）連接OB．根據平行的想得到PA⊥AO，PB⊥OB，根據四邊形的內角和即可得到結論；
（2）連結OP交AB于點E，再連OB、BC，根據切線的性質得到∠PAC=∠PBO=90°，推出OP是AB的垂直平分線，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：如圖1，連接OB．

∵PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，

∴PA⊥AO，PB⊥OB，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．

∵∠BAC＝25°，OB＝OA，

∴∠BOA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；

（2）解：如圖2，連結OP交AB于點E，再連OB、BC，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴∠PAC＝∠PBO＝90°，

∵AP＝AC，AC是⊙O的直徑，

∴，∵PB＝PA，OB＝OA，

∴OP是AB的垂直平分線，

∵∠OAP＝90°，AE⊥OP，

∴△OEA∽△AEP∽△OAP，

∴，

設OE＝a，可得AE＝BE＝BC＝2a，PE＝4a，

∴OP＝5a，

∴OA＝a，PA＝PB＝2a，

∵∠ABC＝∠AEO＝90°，

∴OP∥BC，

∴△DBC∽△DPO，

∴＝＝＝．

∴BD＝，OD＝ a，

∴COSD＝＝．