Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】

（1）將B、C兩點的坐標代入解析式中，利用待定系數法求解即可；
（2）已知要使四邊形POP′C是菱形，則P點一定在OC的垂直平分線上，就可根據C點的坐標知道OC的長度，從而得到P點的縱坐標，已知P點的縱坐標就將其代入解析式中即可求得P點坐標.
（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P點坐標為，可求出BC的解析式從而表示出Q點的解析式，根據可用含有x的式子表示出四邊形ABPC的面積，最后根據式子分析最大值即為四邊形ABCP面積的最大值，此時求出的x即為P點的橫坐標，再代入解析式即可求出P點的坐標即可.

解：（1）將B、C兩點的坐標代入得：，

解得：；

所以二次函數的表達式為：.

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；

設P點坐標為，PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有；

連接PP′，則于E，

∵C，

∴，

又∵，

∴,

∴；

∴，

解得，（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為.

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P點坐標為，設直線BC的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為，

則Q點的坐標為；

當，

解得：，，

∴，，

，

＝

＝

＝

當時，四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．