Question

【題目】如圖1，拋物線M1：y＝﹣x2+4x交x正半軸于點A，將拋物線M1先向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到拋物線M2，M1與M2交于點B，直線OB交M2于點C．

（1）求拋物線M2的解析式；

（2）點P是拋物線M1上AB間的一點，作PQ⊥x軸交拋物線M2于點Q，連接CP，CQ．設點P的橫坐標為m，當m為何值時，使△CPQ的面積最大，并求出最大值；

（3）如圖2，將直線OB向下平移，交拋物線M1于點E，F，交拋物線M2于點G，H，則的值是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，見解析

【解析】

（1）先將拋物線M1：y=-x2+4x化為頂點式，由平移規律“上加下減，左加右減”可直接寫出拋物線M2的解析式；
（2）分別求出點A，點B，點C的坐標，求出m的取值范圍，再用含m的代數式表示出△CPQ的面積，可用函數的思想求出其最大值；
（3）設將直線OB向下平移k個單位長度得到直線EH，分別求出點E，F，G，H的橫坐標，分別過G，H作y軸的平行線，過E，F作x軸的平行線，構造相似三角形△GEM與△HFN，可通過相似三角形的性質求出的值為1．

解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴將其先向右平移3個單位，再向上平移3個單位的解析式為：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18；

（2）∵拋物線M1與M2交于點B，

∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x＝3，

∴B（3，3），

將點B（3，3）代入y＝kx，

得，k＝1，

∴yOB＝x，

∵拋物線M2與直線OB交于點C，

∴x＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x1＝3，x2＝6，

∴C（6，6），

∵點P的橫坐標為m，

∴點P（m，﹣m2+4m），

則Q（m，﹣m2+10m﹣18），

∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18，

∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m）

＝﹣3m2+27m﹣54，

＝﹣3（m﹣）2+，

在y＝﹣m2+4m中，當y＝0時，

x1＝0，x2＝4，

∴A（4，0），

∵B（3，3），

∴3≤m≤4，

∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根據二次函數的圖象及性質可知，當m＝4時，△PCQ有最大值，最大值為6；

（3）的值是定值1，理由如下：

設將直線OB向下平移k個單位長度得到直線EH，

則yEH＝x﹣k，

∴令x﹣k＝﹣x2+4x，

解得，x1＝，x2＝，

∴xF＝，xE＝，

令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18，

解得，x1＝，x2＝，

∴xH＝，xG＝，

∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3，

FN＝xH﹣xF＝＝3，

分別過G，H作y軸的平行線，過E，F作x軸的平行線，交點分別為M，N，Q，

則∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°，

∴△GEM∽△HFN，

∴＝＝＝1，

∴的值是定值1．