Question

17．如圖，?ABCD中，M、N是BD的三等分點，連接CM并延長交AB于點E，連接EN并延長交CD于點F，以下結論：
①E為AB的中點；
②FC=4DF；
③S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$；
④當CE⊥BD時，△DFN是等腰三角形．
其中一定正確的是①③④．

Answer 1

分析 由??M、N是BD的三等分點，得到DN=NM=BM，根據平行四邊形的性質得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根據相似三角形的性質得到$\frac{BE}{CD}=\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}$，于是得到BE=$\frac{1}{2}$AB，故①正確；根據相似三角形的性質得到$\frac{DF}{BE}=\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，求得DF=$\frac{1}{2}$BE，于是得到DF=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$CD，求得CF=3DF，故②錯誤；根據已知條件得到S_△BEM=S_△EMN=$\frac{1}{3}$S_△CBE，求得$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△CBE}}$=$\frac{3}{2}$，于是得到S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$，故③正確；根據線段垂直平分線的性質得到EB=EN，根據等腰三角形的性質得到∠ENB=∠EBN，等量代換得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正確．

解答 解：∵??M、N是BD的三等分點，
∴DN=NM=BM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BM}{DM}=\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，故①正確；
∵AB∥CD，
∴△DFN∽△BEN，
∴$\frac{DF}{BE}=\frac{DN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=3DF，故②錯誤；
∵BM=MN，CM=2EM，
∴_△BEM=S_△EMN=$\frac{1}{3}$S_△CBE，
∵BE=$\frac{1}{2}$CD，CF=$\frac{3}{4}$CD，
∴$\frac{{S}_{△EFC}}{{S}_{△CBE}}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△EFC=$\frac{3}{2}$S_△CBE=$\frac{9}{2}$S_△MNE，
∴S_△ECF=$\frac{9}{2}{S_{△EMN}}$，故③正確；
∵BM=NM，EM⊥BD，
∴EB=EN，
∴∠ENB=∠EBN，
∵CD∥AB，
∴∠ABN=∠CDB，
∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，
∴△DFN是等腰三角形，故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定，平行線的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．