Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是經過A的一條直線，BD⊥AE與D，CE⊥AE與E，
（1）若D，E在BC的同側，探索BD，CE，DE的關系，并加以證明
（2）若D，E分布在BC兩側，問題（1）成立嗎？若不成立，則關系又是如何呢？并加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠EAC=∠ABD，即可求證△ABD≌△CAE，根據全等三角形相等的性質即可解題．
（2）根據全等三角形的判定得到可得△ABD≌△CAE，利用全等的性質得BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE，即可得到BD=DE+CE．

解答： 解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
如圖1，∵∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠EAC=∠ABD，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠CEA=90° ∠ABD=∠EAC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；

（2）（1）中的關系不成立，應該是BD=DE+CE．理由如下：
如圖2，∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中

∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△ABD≌△CAE是解題的關鍵．