Question

如圖，在銳角△ABC的邊上分別作等腰Rt△ABP和等腰Rt△AQC．其中∠APB、∠AQC都是直角，M是BC中點(diǎn)，連PM、QM、PQ．求證：△PMQ為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：作AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E 連MD，ME PD，QE，根據(jù)三角形的中位線定理和直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明PD=ME，EQ=MD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差即可證明∠MDP=∠QEM，從而證明△MDP≌△QEM，即可證明△PMQ是等腰三角形．

解答： 證明：作AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E 連MD，ME PD，QE，
則有MD=

1

2

AC ME=

1

2

AB．
∵△ABP和△ACQ是等腰直角三角形，
∴PD=

1

2

AB，QE=

1

2

AC，
∴PD=ME，EQ=MD．
又∵M(jìn)D∥AC 則
∴∠MDB=∠BAC．
同理∠MEC=∠BAC，
∴∠MDP=∠MDB+90°=∠MEC+90°=∠MEQ
在△MDP和△QEM中，

PD=ME ∠PDM=∠MEQ DM=EQ

，
∴△MDP≌△QEM（SAS）．
∴MP=QM，△PMQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明線段相等的問(wèn)題最常見(jiàn)的思路是轉(zhuǎn)化為證明三角形全等．