Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接BN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若正方形的邊長為

2

，正方形內是否存在一點P，使得PA+PB+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,旋轉的性質

專題：

分析：（1）由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
（2）順時針旋轉△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，求出AF的值即可

解答： 解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，△ABE為等邊三角形，
∴BE=BA，BA=BC，∠ABE=60°；
∵∠MBN=60°，
∴BE=BA，∠MBN=∠ABE，
∴∠MBA=∠NBE；
在△AMB與△ENB中，

BM=BN ∠MBA=∠NBE BA=BE

，
∴△AMB≌△ENB（SAS），

（2）順時針旋轉△BPC60度，可得△PBE為等邊三角形．
即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線上，
即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF．
BM=BF•cos30°=BC•cos30°=

6

2

，
則AM=

2

+

6

2

=

2 2 + 6

2

，
∵AB=BF，∠ABF=150°
∴∠BAF=15°
既得AF=

AM

cos15°

=

3

-1．

點評：本題主要考查軸對稱-路線最短問題、正方形的性質及旋轉的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉的知識，此題難度一般．