Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，點E是邊BC的中點，聯結AE，若將△ABE沿AE翻折，點B落在點F處，聯結FC，則cos∠ECF=$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質得出∠B=90°，BC=AD=10，由勾股定理求出AE，由翻折變換的性質得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，因此EF=CE，由等腰三角形的性質得出∠EFC=∠ECF，由三角形的外角性質得出∠AEB=∠ECF，cos∠ECF=cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$，即可得出結果．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
由翻折變換的性質得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF=∠AEB，EF=BE=5，
∴EF=CE，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB=∠ECF，
∴cos∠ECF=cos∠AEB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{5}{\sqrt{61}}$=$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{61}}{61}$．

點評 本題考查了矩形的性質、勾股定理、翻折變換的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質、三角函數；熟練掌握矩形的性質和翻折變換的性質，證出∠AEB=∠ECF是解決問題的關鍵．