Question

15．已知拋物線交x軸于A（-1，0），B（3，0），交y軸于C（0，-3），以AB為直徑作⊙M，過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，交⊙M的切線AE于E，連接DM并延長交⊙M于N，連接AN，AD．
（1）求拋物線的函數解析式及頂點坐標；
（2）若S四邊形EAMD=4$\sqrt{3}$，求直線PD的函數解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使S四邊形EAMD=S_△DAN？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意設拋物線的函數關系式為：y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入求出a，利用配方法求出頂點坐標即可．
（2）先證明△EAM≌△EDM（HL），又因為四邊形EAMD的面積為4 $\sqrt{3}$，推出S_△EAM=2 $\sqrt{3}$，推出 $\frac{1}{2}$AM•AE=2 $\sqrt{3}$，又AM=2，推出AE=2 $\sqrt{3}$，推出點E的坐標為E₁（-1，2 $\sqrt{3}$）或E₂（-1，-2 $\sqrt{3}$），接下來分兩種情形求出點D的坐標即可利用待定系數法解決問題．
（3）由題意S_{四邊形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，推出S_△AMD=S_△EAM，推出E、D兩點到x軸的距離相等，由PD與⊙M相切，推出點D與點E在x軸同側，推出切線PD與x軸平行，此時切線PD的函數關系式為y=2或y=-2，當y=2時，由y=x²-2x-3得，x=1±$\sqrt{6}$；當y=-2時，由y=x²-2x-3得，x=1±$\sqrt{2}$，由此即可求出點P坐標．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，
設拋物線的函數關系式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線的函數關系式為：y=x²-2x-3，
又∵y=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點坐標為（1，-4）；

（2）連接EM，∵EA、ED是⊙M的兩條切線，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四邊形EAMD的面積為4 $\sqrt{3}$，
∴S_△EAM=2 $\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AM•AE=2 $\sqrt{3}$，
又∵AM=2，
∴AE=2 $\sqrt{3}$，
因此，點E的坐標為E₁（-1，2 $\sqrt{3}$）或E₂（-1，-2 $\sqrt{3}$），
當E點在第二象限時，切點D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=$\frac{EA}{AM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
過切點D作DF⊥AB，垂足為點F，
∴MF=1，DF=$\sqrt{3}$，
因此，切點D的坐標為（2，$\sqrt{3}$），
設直線PD的函數關系式為y=kx+b，
將E（-1，2 $\sqrt{3}$），D（2，$\sqrt{3}$）的坐標代入得 $\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2\sqrt{3}}\\{2k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解之，得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
所以，直線PD的函數關系式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
當E點在第三象限時，切點D在第四象限，
同理可求：切點D坐標為（2，-$\sqrt{3}$），
直線PD的函數關系式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
因此，直線PD的函數關系式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；

（3）若四邊形EAMD的面積等于△DAN的面積，
又∵S_{四邊形EAMD}=2S_△EAM，S_△DAN=2S_△AMD，
∴S_△AMD=S_△EAM，
∴E、D兩點到x軸的距離相等，
∵PD與⊙M相切，
∴點D與點E在x軸同側，
∴切線PD與x軸平行，
此時切線PD的函數關系式為y=2或y=-2，
當y=2時，由y=x²-2x-3得，x=1±$\sqrt{6}$；
當y=-2時，由y=x²-2x-3得，x=1±$\sqrt{2}$，
故滿足條件的點P的位置有4個，分別是P₁（1+$\sqrt{6}$，2）、P₂（1-$\sqrt{6}$，2）、P₃（1+$\sqrt{2}$，-2）、P₄（1-$\sqrt{2}$，-2）．

點評 本題考查二次函數、一次函數的應用、切線的性質、切線長定理、全等三角形的判定和性質、圖形面積的求法等重要知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，體現了數形結合的思想，屬于中考壓軸題．