Question

11．如圖，AB切⊙O于點A，且交直徑EC的延長線于B，∠CAD=∠B，AB=$\frac{15}{4}$，BC=$\frac{5}{4}$，求弦CD的長．

Answer 1

分析 連接AE，CD，根據切割線定理得到AB²=BC•BE，求得BE=$\frac{45}{4}$，CE=BE-BC=10，根據相似三角形的性質得到$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=3，設AE=3k，AC=k，根據勾股定理得到AC=$\sqrt{10}$，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：連接AE，CD，
∵AB切⊙O于點A，
∴AB²=BC•BE，
∵AB=$\frac{15}{4}$，BC=$\frac{5}{4}$，
∴BE=$\frac{45}{4}$，
∴CE=BE-BC=10，
∵∠E=∠BAC，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$=3，
設AE=3k，AC=k，
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠EAC=90°，
∴AE²+AC²=CE²，
∴AC=$\sqrt{10}$，
∵∠CAD=∠B，∠D=∠CAB，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{10}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{CD}{\sqrt{10}}$，
∴CD=8．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，切線的性質，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．