Question

如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．
（1）如圖1，當∠AOB是直角，∠BOC=60°時，∠MON的度數是多少？
（2）如圖2，當∠AOB=α，∠BOC=60°時，猜想∠MON與α的數量關系；
（3）如圖3，當∠AOB=α，∠BOC=β時，猜想∠MON與α、β有數量關系嗎？如果有，指出結論并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可．

解答：解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=75°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．   

（2）如圖2，∠MON=

1

2

α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

α+30°，∠NOC=

1

2

∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（

1

2

α+30°）-30°=

1

2

α．   
 
（3）如圖3，∠MON=

1

2

α，與β的大小無關．    
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．         
∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
∴∠MOC=

1

2

∠AOC=

1

2

（α+β），
∠NOC=

1

2

∠BOC=

1

2

β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-

1

2

β=α+

1

2

β．       
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=

1

2

（α+β）-

1

2

β=

1

2

α           
即∠MON=

1

2

α．

點評：本題考查了角平分線定義和角的有關計算，關鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數和得出∠MON=∠MOC-∠NOC．