Question

如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．
（1）如圖1，當∠AOB是直角，∠BOC=60°時，∠MON的度數是多少？
（2）如圖2，當∠AOB=α，∠BOC=60°時，猜想∠MON與α的數量關系；
（3）如圖3，當∠AOB=α，∠BOC=β時，猜想∠MON與α、β有數量關系嗎？如果有，指出結論并說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=45°．

（2）如圖2，∠MON=α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+30°）-30°=α．

（3）如圖3，∠MON=α，與β的大小無關．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，
∴∠MOC=∠AOC=（α+β），
∠NOC=∠BOC=β，
∴∠AON=∠AOC-∠NOC=α+β-β=α+β．
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=（α+β）-β=α
即∠MON=α．
分析：（1）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度數，求出∠MOC和∠NOC的度數，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可．
點評：本題考查了角平分線定義和角的有關計算，關鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數和得出∠MON=∠MOC-∠NOC．