Question

如圖所示，已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，弦AE與CD相交于點F，則有結論AD²＝AE·AF成立(為什么？)．

(1)若將弦CD向下平移至與⊙O相切于點B時(如圖所示)，AE·AF是否等于AG²？如果不相等，請探求AE·AF等于哪兩條線段的積？并給出證明．

(2)當CD繼續向下平移至與⊙O相離時(如圖所示)，在(1)中探求的結論是否還成立？并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連接DE． 　　因為CD⊥AB，AB是直徑， 　　所以＝， 　　所以∠ADC＝∠AED． 　　又因為∠DAF＝∠EAD， 　　所以△ADF∽△AED， 　　所以＝， 　　所以AD2＝AE·AF． 　　(1)AE·AF不等于AG2，應該有結論AE·AF＝AG·AH． 　　證明：連接BE，BG． 　　因為AB是直徑，AB⊥CD， 　　所以∠AEB＝∠AGB＝∠ABF＝∠ABH＝． 　　因為∠AEB＝∠ABF，∠BAE＝∠FAB， 　　所以△ABE∽△AFB， 　　所以＝， 　　所以AE·AF＝AB2． 　　同理可證AG·AH＝AB2． 　　所以AE·AF＝AG·AH． 　　(2)在(1)中探求的結論還成立．證明如下： 　　連接EG，BG． 　　因為AB是直徑，AB⊥CD于M， 　　所以∠AGB＝∠AMF＝， 　　所以∠AFM＋∠FAM＝∠AGE＋∠BGE＝． 　　因為∠FAM＝∠BGE， 　　所以∠AFM＝∠AGE． 　　又∠FAH＝∠GAE， 　　所以△AFH∽△AGE， 　　所以＝， 　　所以AE·AF＝AG·AH．