Question

（2012•營口）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx+c經過點A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）如圖1，將拋物線的對稱軸繞拋物線的頂點D順時針旋轉60°，與直線y=-x交于點N．在直線DN上是否存在點M，使∠MON=75°．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P、Q分別是拋物線y=ax²+bx+c和直線y=-x上的點，當四邊形OBPQ是直角梯形時，求出點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A，B，C三點代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的長進而得出F點的坐標，再分兩種情況：①當點M在射線ND上時，∠MON=75°，②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°，分別得出M點的坐標即可；
（3）分別根據①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q點的坐標即可．

解答：（1）解：由題意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax²+bx+c列方程組得：

9a-3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，解得 

a=-1 b=-2 c=3

．
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3．  
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點D的坐標為（-1，4）．

（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋轉得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4

3

．∴OF=OE+EF=1+4

3

．
∴F點的坐標為（-1-4

3

，0）．
設過點D、F的直線解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F（-1-4

3

，0）
代入求得 y=

3

3

x+4+

3

3

．
分兩種情況：①當點M在射線ND上時，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直線OM的解析式為y=

3

x．
∴點M的坐標為方程組．

y= 3 3 x+4+ 3 3 y= 3 x

的解，解方程組得，

x=2 3 + 1 2 y=6+ 3 2

．
∴點M的坐標為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．
②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．

方法（二）①M在射線ND上，過點M作MP⊥x軸于點P，
由旋轉得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4

3

．∴OF=OE﹢EF=1+4

3

．
∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=

3

OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=

MP

PF

，
∴

3 OP

1+OP+4 3

=

3

3

．
∴OP=2

3

﹢

1

2

．∴MP=6﹢

3

2

．
∴M點坐標為（2

3

﹢

1

2

、6﹢

3

2

），
②M在射線NF上，不存在點M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（2

3

+

1

2

，6+

3

2

）．

（3）有兩種情況①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如圖2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以點P、B的縱坐標相同都是3．
因為點P在拋物線y=-x²-2x+3上，
把y=3代入拋物線的解析式中得x₁=0（舍去），x₂=-2．
由PQ∥OB得到點P、Q的橫坐標相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q點的坐標為（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如圖3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
點P在拋物線上，∴點P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．
∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x軸于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=

1

2

OF=

5

2

．
∴Q點的橫坐標-

5

2

．∵Q點在y=-x上，∴把x=-

5

2

代入y=-x得y=

5

2

．∴Q點的坐標為（-

5

2

，

5

2

）．
綜上，符合條件的點Q有兩個，坐標分別為：（-2，2），（-

5

2

，

5

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及銳角三角函數的應用和圖象上點的坐標性質等知識，根據已知進行分類討論得出是解題關鍵．