Question

（2012•營口一模）[提出問題]：已知矩形的面積為1，當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
[建立數學模型]：設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=x+

1

x

（x＞0）．
[探索研究]：我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+（x＞0）的圖象和性質．
①填寫下表，畫出函數的圖象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出當自變量x取何值時，函數y=x+

1

x

（x＞0）有最小值；
③我們在課堂上求二次函數最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

Answer 1

分析：①將x=

1

4

，

1

3

，

1

2

，1，2，3，4分別代入y=x+

1

x

中，求出對應的y值，填表如下；根據表格找出7個點的坐標，描在平面直角坐標系中，然后用平滑的曲線作出函數圖象即可；
②由函數圖象，可得出函數y=x+

1

x

（x＞0）取得最小值時x的值；
③將y=x+

1

x

的兩項變形為兩數的平方，加上兩數之積的2倍，同時減去兩數之積的2倍，保證與原式相等，利用完全平方公式變形后，根據完全平方式最小值為0，可得出y的最小值及此時x的值．

解答：解：①填表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

描點；連線，畫出函數圖象，如圖所示：

②觀察圖象，可得：當x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2；
③解：y=x+

1

x

=（

x

）²+（

1 x

）²-2

x

•

1 x

+2

x

•

1 x

=（

x

-

1 x

）²+2，
當

x

-

1 x

=0，即x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2，
則函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

點評：此題考查了利用描點法畫函數圖象，以及完全平方公式的運用，利用了數形結合及轉化的思想，是一道綜合性較強的探究型試題．