Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點。

（1）求b、c的值；

（2）P為拋物線上的點，且滿足S△PAB=8，求P點的坐標

（3）設拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小?若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）b=-2，c=-3；（2）符合x的值為點P有三個；（3）Q點的坐標為（1，-2）

【解析】

（1）拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（-1，0），B（3，0），把它們分別代入得到二元一次方程組，解這個方程組求得b，c值；

（2）設點P的坐標為（x，y），根據S△PAB=8，列出方程求得y值，分別代入從而求得點P的坐標；

（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線解析式，從而求得點Q的坐標．

（1）根據題意可得，1-b+c=0；9+3b+c=0

∴b=-2，c=-3

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

（2）設點P的坐標為（x，y）

根據題意可知，S△PAB=×4|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4

當y=4時，x2-2x-3=4，∴x=或x=-+1

當y=-4時，x2-2x-3=-4，∴x=1

∴當P點的坐標分別為(，4)、(-+1，4)、（1，-4）時，

S△PAB=8；

（3）在拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上存在點Q，使得△QAC的周長最�。�
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�
∵點A關于對稱軸x=1的對稱點是B（3，0），
∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點C的坐標為（0，-3），設直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當x=1時，y=-2．
∴點Q的坐標為（1，-2）．