Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點O是AB的中點.將一個邊長足夠大的Rt△DEF的直角頂點E放在點O處，并將其繞點O旋轉，始終保持DE與AC邊交于點G，EF與BC邊交于點H.

(1)當點G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.

(2)等腰直角三角ABC的邊被Rt△DEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發生變化，如不發生變化，請求出CG與CH之和的值：如發生變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)點G在AC的中點時，四邊形CGOH是正方形；(2)CG與CH的和不會發生變化，CG+CH＝8.

【解析】

(1)由三角形中位線定理可得OG∥BC，OG＝BC，可證四邊形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性質可得∠ACO＝∠COG＝45°，可得CG＝GO，可得結論；

(2)由“ASA”可證△GOC≌△HOB，可得CG＝BH，即可得CG+CH＝HB+CH＝BC＝8.

解：(1)當點G在AC的中點時，四邊形CGOH是正方形，

連接CO，

∵O為AB的中點，點G是AC中點，

∴OG∥BC，OG＝BC，

∴∠CGO＝∠C＝90°，

∵∠GOF＝90°，

∴四邊形CGOH是矩形，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴∠ACO＝45°，且∠CGO＝90°，

∴∠ACO＝∠COG＝45°，

∴CG＝GO，

∴矩形CGOH是正方形；

(2)CG與CH的和不會發生變化，

理由如下：

連接OC，

∵△ABC是等腰直角三角形且點O為中點

∴∠GCO＝∠B＝45°，∠COB＝90°，CO＝BO

∵∠DOF＝90°＝∠COB，

∴∠GOC＝∠HOB，且CO＝BO，∠GCO＝∠B＝45°，

∴△GOC≌△HOB(ASA)

∴HB＝GC，

∴CG+CH＝HB+CH＝BC

∵AB＝8，

∴BC＝AC＝8

∴CG+CH＝8.