Question

10．實踐操作：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，利用直尺和圓規按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）：
（1）作∠BCA的角平分線，交AB于點O；
（2）以O為圓心，OB為半徑作圓．
綜合運用：在你所作的圖中，
（3）AC與⊙O的位置關系是相切（直接寫出答案）；
（4）若BC=6，AB=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的做法得出即可；
（2）利用以O為圓心，OB為半徑作圓直接得出即可；
（3）根據切線的判定方法直接得出即可；
（4）利用切線長定理以及勾股定理求出⊙O的半徑即可．

解答 解：實踐操作：
（1）如圖所示：CO即為所求；
（2）如圖所示：⊙O即為所求；

綜合運用：
（3）AC與⊙O的位置關系是：相切；
故答案為：相切；
（4）過點O連接AC與⊙O的切點E，
∵BC=6，AB=8，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
由題意可得出：CB⊙O的切點為B，
則CE=CB=6，
設BO=x，則EO=x，AO=6-x，
AE=10-6=4，
∴在Rt△AOE中，
AE²+EO²=AO²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴⊙O的半徑為：3．

點評 此題主要考查了角平分線的做法，勾股定理和切線長定理以及切線的判定等知識，熟練利用切線的判定定理是解題關鍵．