Question

5．如圖，在正方形ABCD中，點M，N分別在邊BC，CD上，且∠MAN=45°，AM，AN分別與對角線BD交于點E，F，若EM=$\sqrt{10}$，CM=2BM，則EF的長為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接AC，根據正方形的性質得到∠ACM=∠ADF=∠CAD=45°，得到AC=$\sqrt{2}$AD，推出△MAC∽△FAD，根據相似三角形的性質得到AM=$\sqrt{2}$AF，設MB=x，則CM=2x，AB=3x，勾股定理AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，得到AF=$\sqrt{5}$x，然后根據勾股定理即可得到結論．

解答 證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠ACM=∠ADF=∠CAD=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$AD，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAN=∠CAD，
∴∠MAN-∠CAN=∠CAD-∠CAN，
∴∠MAC=∠FAD，
∴△MAC∽△FAD，
∴AN：AF=AC：AD，
∴AM：AF=$\sqrt{2}$：1，
∴AM=$\sqrt{2}$AF，
∵CM=2BM，
∴設MB=x，則CM=2x，AB=3x，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴AF=$\sqrt{5}$x，
∵∠EAF=∠∠MBE=45°，
∠BEM=∠AEF，
∴△AEF∽△BME，
∴$\frac{EF}{EM}=\frac{AF}{BM}$，即$\frac{EF}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{5}x}{x}$，
∴EF=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及正方形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．