Question

10．如圖，已知A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x軸上的點，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，分別過點A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，連接A₁B₂、B₁A₂、B₂A₃、…、A_nB_n+1、B_nA_n+1，依次相交于點P₁、P₂、P₃、…、P_n．△A₁B₁P₁、△A₂B₂P₂、△A_nB_nP_n的面積依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則S₂₀₁₆=$\frac{201{6}^{2}}{4033}$．

Answer 1

分析 根據圖象上點的坐標性質得出點B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1各點坐標，進而利用相似三角形的判定與性質得出S₁、S₂、S₃、…、S_n，進而得出答案．

解答 解：∵A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1是x軸上的點，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_nA_n+1=1，
分別過點A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B₁、B₂、B₃、…、B_n、B_n+1，
∴B₁的橫坐標為：1，縱坐標為：2，
∴B₁（1，2），
同理可得：B₂的橫坐標為：2，縱坐標為：4，
則B₂（2，4），
B₃（3，6）…
∵A₁B₁∥A₂B₂，
∴△A₁B₁P₁∽△A₂B₂P₁，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{2}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂對應高的比為1：2，
∴A₁B₁邊上的高為：$\frac{1}{3}$，
∴S_△A1B1P1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{1}{3}$，
同理可得出：S_△A2B2P2=$\frac{4}{5}$，S_△A3B3P3=$\frac{9}{7}$，
∴S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n+1}$，
∴S₂₀₁₆=$\frac{201{6}^{2}}{2×2016+1}$=$\frac{201{6}^{2}}{4033}$，
故答案為：$\frac{201{6}^{2}}{4033}$．

點評 本題主要考查了一次函數函數圖象上點的坐標特點，先根據題意得出B點坐標變化規律進而得出S的變化規律，得出圖形面積變化規律是解題關鍵．