Question

20．閱讀下列材料：
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為邊AC上一點，DA=DB，E為BD延長線上一點，∠AEB=120°，猜想AC、BE、AE的數量關系，并證明．
小明的思路是：根據等腰△ADB的軸對稱性，將整個圖形沿著AB邊的垂直平分線翻折，得到點C的對稱點F，如圖2，過點A作AF⊥BE，交BE的延長線于F，請補充完成此問題；
參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，D、F在直線BC上，DE=BF，連接AD，過點E作EG∥AC交FH的延長線于點G，∠DFG+∠D=∠BAC．
（1）探究∠BAD與∠CHG的數量關系；
（2）請在圖中找出一條和線段AD相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 閱讀材料：如圖2中，結論：AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．理由如下，只要證明△ABF≌△BAC，推出AC=BF，再證明EF=$\frac{1}{2}$AE，可得AC=BF=BE+EF=BE+$\frac{1}{2}$AE．
問題：（1）由∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，推出∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，可得∠CHG=∠BAD．
（2）結論：AD=FG．如圖3中，延長BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長線于J，連接FJ．首先證明四邊形ACEJ，四邊形AJFR是平行四邊形，再證明△ABD≌△JEF，想辦法證明∠1=∠2，即可解決問題．

解答 解：閱讀材料，如圖2中，結論：AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．理由如下，

∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵AF⊥BF，
∴∠F=∠C=90°，
在△ABF和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C=90°}\\{∠ABF=∠BAC}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BAC，
∴AC=BF，
∵∠AEB=120°=∠F+∠FAE，
∴∠FAE=30°，∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AC=BF=BE+EF=BE+$\frac{1}{2}$AE，
∴AC=BE+$\frac{1}{2}$AE．

問題：（1）如圖3中，

∵∠ACD=∠D+∠CAD，∠D+∠CFG=∠BAC，
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=∠CFH+∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD，
∴∠CHG=∠BAD．

（2）結論：AD=FG．理由如下，
如圖3中，延長BF到R，使得BR=CD，連接AR，作AJ∥CD交EG的延長線于J，連接FJ．
∵AJ∥CE，AC∥JE，
∴四邊形ACEJ，四邊形ACGK是平行四邊形，
∴AJ=CE，AC=JE，
∵AB=CA，
∴JE=AB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABR=∠ACD，
在△ABR和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABR=∠ACD}\\{BR=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABR≌△ACD，
∴AR=AD，
∵BR=CD，BF=ED，
∴FR=CE=AJ，EF=BD，∵AJ∥RF，
∴四邊形ARFJ是平行四邊形，
∴JF=AR=AD，
在△ABD和△JEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=JE}\\{AD=JF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△JEF，
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD=∠CHG=∠2，
∴∠1=∠2，
∴FG=FJ，
∴AD=FG．

點評 本題考查翻折變換、等腰三角形的性質、直角三角形30度角性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形或特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．