Question

已知點P是矩形ABCD邊AB上的任意一點（與點A、B不重合）
（1）如圖①，現將△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一點F，將△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射線PE、PG重合，試問FG與CE的位置關系如何，請說明理由；
（2）在（1）中，如圖②，連接FC，取FC的中點H，連接GH、EH，請你探索線段GH和線段EH的大小關系，并說明你的理由；
（3）如圖③，分別在AD、BC上取點F、C’，使得∠APF=∠BPC’，與（1）中的操作相類似，即將△PAF沿PF翻折得到△PFG，并將△沿翻折得到△，連接，取的中點H，連接GH、EH，試問（2）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由題意得，∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°，∴∠GEC=90°，∴∠G=∠GEC，∴FG∥CE。
（2）GH=EH。延長GH交CE于點M，由（1）得，FG∥CE，∴∠GFH=∠MCH，∵H為CF的中點，∴FH=CH，又∵∠GHF=∠MHC，∴△GFH≌△MHC，∴GH=HM=，∵∠GEC=90°，∴EH=，∴GH=EH。
（3）（2）中的結論還成立。取PF的中點M，的中點N，∵∠FGP=90°，M為PF的中點，∴，，∥，∴GM=PM，∴∠GPF=∠MGP，∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF，∵H為的中點，M為PF的中點，∴，同理，，HN∥PF，∠，∴GM=HN，HM=EN。∵∠GPF=∠FPA，，又，∴∠GPF=，∴∠GMF=∠，∵∥，HN∥PF，∴四邊形HMPN為平行四邊形，∴∠HMF=∠，∴∠GMH=∠HNE，∵GM=HN，HM=EN，∴△GMH≌△HNE，∴GH=HE。

解析