Question

如圖已知△ABC是等邊三角形，BD是高，延長BC到E，使CE=CD，過D作DF⊥BE于F，
求證：（1）BD=DE
（2）F為線段BE的中點．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根據CE=CD，利用等邊對等角以及三角形的任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出
∠E=30°，然后根據等角對等邊的性質即可證明；
（2）利用等腰三角形三線合一的性質證明即可．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
又∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴BD=DE；

（2）根據（1）的結論，BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴BF=EF（等腰三角形三線合一），
即F為線段BE的中點．

點評：本題主要考查了等邊三角形三個角都是60°的性質，等腰三角形三線合一的性質，以及等邊對等角，等角對等邊的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．