Question

【題目】如圖1，某人用一張面積為S的三角形紙片ABC剪出一個△EFP，記△EFP的面積為T，已知E、F、P分別是△ABC三邊上的三點，且EF∥BC.

（1）如圖2，當P與B重合，設分別等于、、時，△PEF的面積分別為、、.

① = ，= ，= ；

② 寫出的求解過程；

（2）如圖3，當點P是△ABC邊BC上的任意一點時（點P可與B或C重合），設， 試求出與、S的函數關系式；

（3）請探究T是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①S，，；②見解析；（2），理由見解析；（3）T存在最大值，當k=時，.

【解析】(1)由等高可推出面積比等于底邊之比，進而推出三角形面積；

（2）點P在BC上的任意一處，連BF，由EF∥BC，得△BEF與同高等底，因此，由（1）可知：△AEF∽△ABC，可得︰S=︰1，即=S·，

由AE︰AB=k︰1，得AE︰BE=k︰（1-k），故︰=k︰（1-k），即k·=（1-k）·，所以k︰T=（（1-k）S，化簡可得.

(3) 由（2）可知T=-（-k）S,求拋物線的頂點坐標可得.

解：（1）①=S，=，=S；

②如圖∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AEF∽△ABC，

又∵，

∴，

∴=S.過F作FD⊥AB于D，

∵FD·BE，，

由于AE︰AB=3︰4，

∴AE︰BE=3︰1，

∴，

∴=，=S.

（2）當時，，理由如下：

如圖，點P在BC上的任意一處，連BF，

∴EF∥BC，△BEF與同高等底，

∴，

由（1）可知：△AEF∽△ABC，

設AE︰AB=k︰1，

︰S=︰1，

∴=S·.

又∵AE︰AB=k︰1，則AE︰BE=k︰（1-k），

︰=k︰（1-k），k·=（1-k）·，k︰T=（（1-k）S

T=（1-k）kS即T=-（-k）S；

（3）由（2）可知T=-（-k）S=-（-k+-）S=-S（k-）+，

∴T存在最大值，當k=時，.