Question

【題目】（1）（發現）如圖①，已知等邊△ABC，將直角三角板的60°角頂點D任意放在BC邊上（點D不與點B、C重合），使兩邊分別交線段AB、AC于點E、F.

①若AB=6，AE=4，BD=2，則CF =________；

②求證：△EBD∽△DCF.

（2）（思考）若將圖①中的三角板的頂點D在BC邊上移動，保持三角板與邊AB、AC的兩個交點E、F都存在，連接EF，如圖②所示.問點D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

（3）（探索）如圖③，在等腰△ABC中，AB=AC，點O為BC邊的中點，將三角形透明紙板的一個頂點放在點O處（其中∠MON=∠B），使兩條邊分別交邊AB、AC于點E、F（點E、F均不與△ABC的頂點重合），連接EF.設∠B=α，則△AEF與△ABC的周長之比為________（用含α的表達式表示）

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Answer 1

【答案】（1）①4；②證明見解析；（2）存在；（3）1-cosα.

【解析】（1）①先求出BE的長度后發現BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等邊三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可證得△CDF是等邊三角形，從而CF=CD=BC-BD；

②證明△EBD∽△DCF，這個模型可稱為“一線三等角相似模型”，根據“AA”判定相似；

（2）【思考】由平分線可聯系到角平分線的性質“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”，可過D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，則DM=DG=DN，從而通過證明△BDM△CDN可得BD=CD；

（3）【探索】由已知不難求得C△ABC=AB+BC+CA=2AB+2OB=2(m+mcosα)，則需要用m和α的三角函數表示出C△AEF，C△AEF=AE+EF+AF；題中直接已知O是BC的中點，應用（2）題的方法和結論，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，則C△AEF=AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，從而可求得.

（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，

∵AE=4，

∴BE=2，則BE=BD，

∴△BDE是等邊三角形，

∴∠BDE=60°，

又∵∠EDF=60°，

∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，則∠CDF =∠C=60°，

∴△CDF是等邊三角形，

∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；

②證明：∵∠EDF=60°，∠B=60°

∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，

∴∠BED=∠CDF，

又∵∠B=∠C，

∴△EBD∽△DCF

（2）存在.如圖，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分別為M，G，N，

∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，

∴DM=DG=DN，

又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，

∴△BDM△CDN，

∴BD=CD，

即點D是BC的中點，

∴;

（ 3 ）連結AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分別為G，D，H，

則∠BGO=∠CHO=90°，

∵AB=AC，O是BC的中點

∴∠B=∠C，OB=OC，

∴△OBG△OCH，

∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°α，

則∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，

∵∠EOF=∠B=α，

則∠GOH=2∠EOF=2α，

由（2）題可猜想應用EF=ED+DF=EG+FH，

則 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，

設AB=m，則OB=mcosα，GB=mcos2α,

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