Question

在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y＝k(x²＋x－1)的圖象交于點A(1，k)和點B(－1，－k)．
(1)當k＝－2時，求反比例函數的解析式；
(2)要使反比例函數與二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍．
(3)設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．

Answer 1

(1)y＝－   (2)k<0  x≤－   (3)k＝±

解：(1)因為k＝－2，所以A(1，－2)，
設反比例函數為y＝，因為點A在函數的圖象上，所以－2＝，
解得k₁＝－2，
反比例函數解析式為y＝－.
(2)由y＝k(x²＋x－1)＝k－k，得拋物線對稱軸為直線x＝－，
當k>0時，反比例函數不存在y隨著x的增大而增大的取值范圍，所以k<0，
此時，當x<0或x>0時，反比例函數值y隨著x的增大而增大；
當x≤－時，二次函數值y隨著x的增大而增大，所以自變量x的取值范圍是x≤－.
(3)由題(2)得點Q的坐標為，
因為AQ⊥BQ，點O是AB的中點，
所以OQ＝AB＝OA，
得＋k²＝1²＋k²，解得k＝±.