Question

已知如圖，BC為半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E，交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且AE=BE．
求證：（1）

AB

=

AF

；（2）AH•BC=2AB•BE．

Answer 1

證明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAD=∠ABE，
∵BC是直徑，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C=∠ABF，
∴

AB

=

AF

；

（2）∵∠C=∠ABF，
Rt△ABH∽Rt△ACB，
∴AH：BH=AB：BC，即AH•BC=AB•BH，
∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAH=∠AHB，
∴AE=EH=BE=

1

2

BH，
∴AH•BC=2AB•BE．