Question

【題目】利用函數圖象探究方程x（|x|﹣2）＝的實數根的個數．

（1）設函數y＝x（|x|﹣2），則這個函數的圖象與直線y＝的交點的橫坐標就是方程x（|x|﹣2）＝的實數根．

（2）分類討論：當x≤0時，y＝﹣x2﹣2x；當x＞0時，y＝　 　；

（3）在給定的坐標系中，已經畫出了當x≤0時的函數圖象，請根據（2）中的解析式，通過描點，連線，畫出當x＞0時的函數圖象．

（4）在給定的坐標系中畫直線y＝、觀察圖象可知方程x（|x|﹣2）＝的實數根有　 　個．

（5）深入探究：若關于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三個不相等的實數根，且這三個實數根的和為負數，則m的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）函數y＝x（|x|﹣2）的圖象與直線y＝的交點的橫坐標就是方程x（|x|﹣2）＝的實數根；（2）x2﹣2x；（3）如圖，見解析；（4）3；（5）﹣2≤m＜0．

【解析】

（1）函數y＝x（|x|﹣2）的圖象與直線y＝的交點的橫坐標就是方程x（|x|﹣2）＝的實數根．

（2）根據絕對值的性質去掉絕對值整理即可，注意x的取值范圍；

（3）通過描點，連線，畫出當x＞0時的函數圖象即可；

（4）根據兩個函數圖象交點的個數，找出方程解的個數；

（5）根據兩個函數圖象相交產生的交點，比較交點橫坐標的特征，加以分析即可求得．

解：（1）函數y＝x（|x|﹣2）的圖象與直線y＝的交點的橫坐標就是方程x（|x|﹣2）＝的實數根．

（2）當x＞0時，y＝x（|x|﹣2）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，

故答案為x2﹣2x；

（3）如圖：

（4）如（3）題圖，直線y＝的圖象與y＝x（|x|﹣2）的圖象有三個交點，則可知方程x（|x|﹣2）＝的實數根有 3個．

故答案為3；

（5）根據題意畫出圖象：

直線y＝m與函數y＝x（|x|﹣2）的交點的橫坐標x1＜0＜x2＜x3，且x2+x3＝2，x1≤﹣2，

∴x1+x2+x3≤0，

∴﹣2≤m＜0

∴關于x的方程x（|x|﹣2）＝即2x（|x|﹣2）＝m有三個不相等的實數根，且這三個實數根的和為非負數，則m的取值范圍是﹣2≤m＜0，

故答案為﹣2≤m＜0．