Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F，切點為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=GE；
（2）若AC∥EF，試判斷線段KG、KD、GE間的相等數量關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若sinE=

3

5

，AK=2

5

，求FG的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE；
（2）KG²=KD•GE．如圖2，連接GD．利用平行線的性質和圓周角定理得到∠KGD=∠E．又由（1）知∠KGE=∠GKE，則△GKD∽△EGK，所以由相似三角形的對應邊成比例得到

KG

GE

=

KD

KG

，即KG²=KD•GE；
（3）如圖3所示，連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．

解答：解：（1）如圖1，連接OG．
∵EG為切線，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）KG²=KD•GE．理由如下：
如圖2，連接GD．
∵AC∥EF，
∴∠C=∠E．
又∵∠C=∠AGD，
∴∠KGD=∠E．
又∵由（1）知∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴

KG

GE

=

KD

KG

，即KG²=KD•GE；

（3）連接OG，OC，如圖3所示．
sinE=sin∠ACH=

3

5

，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．
在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，解得t=

2

．
設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3t）²+（4t）²=r²，解得r=

25

6

t=

25 2

6

．
∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=

25 2

6

，tan∠OFG=tan∠CAH=

CH

AH

=

4

3

，
∴FG=

OG

tan∠OFG

=

25 2 6

4 3

=

25 2

8

．

點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．