Question

已知：四邊形ABCD是正方形，點E在CD邊上，點F在AD邊上，且AF=DE．
（1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關系？寫出你的結果，并加以證明；
（2）如圖2，對角線AC與BD交于點O．BD，AC分別與AE，BF交于點G，點H．
①求證：OG=OH；
②連接OP，若AP=4，OP=

2

，求AB的長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAD=∠D=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠DAE=∠ABF，然后求出∠PAB+∠ABF=90°，再求出∠APB=90°，然后根據垂直的定義解答即可；
（2）①根據正方形的對角線互相垂直平分可得∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，對角線平分一組對角可得∠ABO=∠DAO=45°，然后求出∠OAG=∠OBH，再利用“角邊角”證明△OAG和△OBH全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=OH；
②過點O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，根據全等三角形對應角相等可得∠OGA=∠OHB，再利用“角角邊”證明△OGM和△OHN全等，根據全等三角形對應邊相等可得OM=ON，然后判斷出四邊形OMPN是正方形，根據正方形的性質求出PM=OM=1，再求出AM，然后利用勾股定理列式求出OA，再根據正方形的性質求出AB即可．

解答：（1）解：AE⊥BF．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠BAD=∠D=90° AF=DE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠DAE=∠ABF，
∵∠DAE+∠PAB=∠BAD=90°，
∴∠PAB+∠ABF=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF；

（2）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠AOG=90°，OA=OB，∠ABO=∠DAO=45°，
∵∠DAE=∠ABF（已證），
∴∠ABO-∠ABF=∠DAO-∠DAE，
即∠OAG=∠OBH，
在△OAG和△OBH中，

∠OAG=∠OBH OA=OB ∠AOB=∠AOG=90°

，
∴△OAG≌△OBH（ASA），
∴OG=OH；

②解：如圖2，過點O作OM⊥AE于M，作ON⊥BF于N，
∵△OAG≌△OBH（已證），
∴∠OGA=∠OHB，
在△OGM和△OHN中，

∠OMG=∠ONH=90° ∠OGA=∠OHB OG=OH

，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴OM=ON，
∴四邊形OMPN是正方形，
∵OP=

2

，
∴PM=OM=

2

×

2

2

=1，
∵AP=4，
∴AM=AP+PM=4+1=5，
在Rt△AOM中，OA=

AM2+OM2

=

52+12

=

26

，
∴正方形ABCD的邊長AB=

2

OA=

2

×

26

=2

13

．

點評：本題是四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，（2）②難度較大，作輔助線構造出全等三角形和以OP為對角線的正方形是解題的關鍵，也是本題的難點．