Question

如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．

（1）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求FH的長（結果保留根號）．

Answer 1

解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：

連接OD，如圖1所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD=60°，

∴∠BOD=∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）連接OF，如圖2所示：

∵OC=OF，∠C=60°，

∴△OCF是等邊三角形，

∴CF=OC=BC=AB=2，

∵FH⊥BC，

∴∠FHC=90°，

∴FH=CF•sin∠C=2×=．