Question

如圖，二次函數y=x²+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發，連接PQ，當點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒．

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；

（3）如圖2，當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴，

解得．

∴二次函數的解析式是：y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵y=x²﹣2x﹣3，

∴點C的坐標是（0，﹣3），

∴BC==3，

設BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

則，

解得．

∴BC所在的直線的解析式是：y=x﹣3，

∵經過t秒，AP=t，BQ=t，

∴點P的坐標是（t﹣1，0），

設點Q的坐標是（x，y），

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

則y=×sin45°=×=t，

∴BP==×=t，

∴x=3﹣t，

∴點Q的坐標是（3﹣t，t），

①如圖1，

，

當∠QPB=90°時，

點P和點Q的橫坐標相同，

∵點P的坐標是（t﹣1，0），點Q的坐標是（3﹣t，t），

∴t﹣1=3﹣t，

解得t=2，

即當t=2時，△BPQ為直角三角形．

②如圖2，

，

當∠PQB=90°時，

∵∠PBQ=45°，

∴BP=，

∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，

∴4﹣t=

即4﹣t=2t，

解得t=，

即當t=時，△BPQ為直角三角形．

綜上，可得

當△BPQ為直角三角形，t=或2．

（3）如圖3，延長MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，

，

設PQ所在的直線的解析式是y=cx+d，

∵點P的坐標是（t﹣1，0），點Q的坐標是（3﹣t，t），

∴，

解得．

∴PQ所在的直線的解析式是y=x+，

∴點M的坐標是（0，）

∵，，

∴PQ的中點H的坐標是（1，）

假設PQ的中點恰為MN的中點，

∵1×2﹣0=2，=，

∴點N的坐標是（2，），

又∵點N在拋物線上，

∴=2²﹣2×2﹣3=﹣3，

解得t=或t=﹣（舍去），

∵＞，

∴當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上不存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點．