Question

已知方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實根，a，b，c是△ABC的三邊，且2b=a+c
（1）求a：b：c；
（2）若上述三角形最短邊為5，而方程x（x-2）+m（1-x）=3的兩根平方和為最長邊的3倍，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實根，由此得到其判別式等于0，這樣可以得到一個關于a、b、c的關系，再利用2b=a+c即可求解；
（2）利用（1）可以求出a，b，c的長度，然后利用根與系數的關系和已知條件即可求解．
解答：解：（1）∵a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個相等實根，
∴（c-a）x²+2bx+a+c=0的判別式為0，
即△=4b²-4（a+c）（a-c）=0，
∴b²+c²=a²，①
∴△ABC是直角三角形，
而2b=a+c，②，
聯立①②把b作為已知數解關于a、c的方程組得a=b，c=b，
∴a：b：c=3：4：5；
（2）∵三角形最短邊為5，
∴據（1）知道最長邊為，
∵方程x（x-2）+m（1-x）=3的兩根平方和為最長邊的3倍，
∴x²-（m+2）x+m-3=0，
設兩根為α、β、
∴α+β=m+2，
αβ=m-3，
∴α²+β²=25=（α+β）²-2αβ，
∴（m+2）²-2（m-3）=25，
∴m₁=-5，m₂=3．
點評：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數的關系，是敘利亞判別式確定a、b、c的關系，然后利用根與系數的關系得到關于m的方程解決問題．