Question

如圖：⊙O中，直徑AB⊥直徑CD，點E在OA上，EF⊥CE交BD于點F，EF交CD于M．CF交AB于N．
（1）求證：EC=EF；
（2）若AE=1，DM=

5

3

，求△ENC的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AD、AC、ED，利用垂直平分線的性質以及等角對等邊得出ED=EF，進而得出答案即可；
（2）設OM=x，則OC=x+

5

3

，OE=x+

2

3

，由△EOM∽△COE，得OE²=OM•OC，解出x=

4

3

，所以OC=3，OE=2，EC=

13

，進而證明△ENC∽△ECB，得EC²=EN•EB，可求EN=

13

5

，則可求出△ENC的面積．

解答：（1）證明：連接AD、AC、ED．
∵直徑AB⊥直徑CD，
∴AD=AC；
∵AB⊥CD，EF⊥CE，
∴∠BEF=∠ECD=∠EDC，于是∠EDB=∠EDC+45°=∠BEF+45°=∠EFD，
所以ED=EF，即EC=EF；

（2）解：設OM=x，則OC=x+

5

3

，OE=x+

2

3

，
∵∠CEO+∠OEM=90°，∠OEM+∠EMO=90°，
∴∠COE=∠EMO，
又∵∠COE=∠EOM=90°，
∴△EOM∽△COE，
得OE²=OM•OC，
（x+

2

3

） ²=x•（x+

5

3

），
解得：x=

4

3

，
所以OC=3，OE=2，EC=

13

，
∵直徑AB⊥直徑CD，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥EF，
EC=EF，
∴∠ECF=∠EFC=45°，
∴∠CBE=∠ECF=45°，
又∵∠CEN=∠BEC，
∴△ENC∽△ECB，
∴EC²=EN•EB，
（

13

）²=EN•5，
解得EN=

13

5

．
則S_△ENC=

1

2

EN•OC=3.9．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質，根據已知得出△ENC∽△ECB是解題關鍵．