Question

已知：如圖，⊙O中，直徑AB=5，在它的不同側有定點C和動點P，BC：CA=4：3，點P在

AB

上運動（點P不與A、B重合），CP交AB于點D，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q．
（1）當點P與點C關于AB對稱時，求CD和CQ的長；
（2）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長．

Answer 1

分析：（1）如果點P與點C關于AB對稱，根據垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長；
（2）如果CQ去最大值，那么PC也應該取最大值，因此當PC是圓O的直徑時，CQ才取最大值．此時PC為5，可根據上面得出的PC、CQ的比例關系求出CQ的長．即可得出PC的值，進而可通過相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長．

解答：解：（l）當點P與點C關于AB對稱時，CP⊥AB，設垂足為D，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，（1分）
∵AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∴PC=2CD=

24

5

．
在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

4

3

PC=

32

5

；

（2）點P在弧AB上運動時，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

PC•BC

AC

．
∴當PC取得最大值時，CQ的值最大，
而當PC為圓的直徑時，PC的值最大，最大為5，此時CQ=

20

3

．

點評：本題屬于常規的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，正切的概念求解．解第2小問時要有動態的思想（在草稿上畫畫圖）不難猜想出結論．