Question

如圖，D為Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的圓分別交△ABC三邊于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，連接FE，F(xiàn)G．
（1）求證：∠EFG=∠B；
（2）若AC=2BC=4

5

，D為AE的中點(diǎn)，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：連接GD；
∵CD是直徑，
∴∠CGD=90°；
∴DG∥BC，
∴∠ADG=∠B；
又∵四邊形DGFE是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADG=∠EFG；
∴∠B=∠EFG；

（2）連接CE，則CE⊥AB；
在Rt△ACB中，AC=4

5

，BC=2

5

；
由勾股定理，得：AB=

AC2+BC2

=10；
由于CE⊥AB，由射影定理，得：AE=AC²÷AB=8；
∴AD=DE=4，BE=2；
CE²=AE•BE=16，∴CE=4；
Rt△CED中，CE=4，DE=4；∴CD=4

2

．