Question

【題目】如圖，已知在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE，DF分別是∠OAD與∠ODC的平分線，AE的延長線與DF相交于點G，則下列結論：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正確的結論是（　　）

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①證明∠DAE＝∠CDF，進而得∠DAF+∠ADG＝90°,便可判斷①的正誤;

②證明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF,得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EF∥CD，便可判斷②的正誤;

③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判斷③的正誤;

④證明EF＝ED＝，由平行于三角形一邊的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例便可得AB與EF的數量關系，進而判斷④的正誤.

解：①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠CAD＝∠BDC＝45°,

∵AE，DF分別是∠OAD與∠ODC的平分線,

∴∠DAE＝∠CDF,

∵∠ADF+∠CDF＝90°,

∴∠DAF+∠ADG＝90°,

∴∠AGD＝90°,即AG⊥DF,

故①結論正確;

②在△AGF和△AGD中,

,

∴△AGF≌△AGD（ASA）,

∴GF＝GD,

∵AG⊥DF,

∴EF＝ED,

∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF,

∴EF∥CD∥AB,

故②正確;

③∵△AGF≌△AGD（ASA）,

∴AD＝AF＝AB,

故③正確;

④∵EF∥CD,

∴∠OEF＝∠ODC＝45°,

∵∠COD＝90°,

∴EF＝ED＝,

∴,

∴AB＝CD＝（+1）EF,

故④錯誤.

故選：C.