Question

8．如圖l，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點D在AC邊上，現將△DCE繞點C逆時針旋轉．
問題發現：當點A、D、E在同一直線上時，連接BE，如圖2，
〔1）求證：△ACD≌△BCE；
〔2）求證：CD∥BE．
拓展探究
如圖1，若CA=2$\sqrt{3}$，CD=2，將△DCE繞點C按逆對針方向旋轉，旋轉角度為α（0°＜α＜360°），如圖3，α為90°或270°時，△CAD的面積最大，最大面積是$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 問題發現：（1）由△ACB和△DCE為等邊三角形知AC=BC、CD=CE、∠ACB=∠DCE=60°，從而可得∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE．即可證得△ACD≌△BCE．
（2）由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC，根據∠EDC=60°知∠ADC=∠BEC=120°，由∠DCE+∠CEB=60°+120°=180°可證得CD∥BE．
拓展探究：作DF⊥AC于點F，由S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF=$\sqrt{3}$DF知DF取得最大值時△CAD面積最大，由△CFD中，DF＜CD知只有當CD旋轉到與AC垂直時，FD才能取得最大值，即FD=CD，由于旋轉角0°＜α＜360°，所以除了旋轉90°以外，旋轉270°也滿足條件，繼而可得最大面積．

解答 解：問題發現：
（1）∵△ACB和△DCE為等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠EDC=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∴∠DCE+∠CEB=60°+120°=180°，
∴CD∥BE（內錯角互補兩直線平行）；

拓展探究：
如圖，過點D作DF⊥AC于點F，

∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF=$\sqrt{3}$DF，
∴當DF取得最大值時△CAD面積最大，
又∵在△CFD中，DF＜CD，
∴只有當CD旋轉到與AC垂直時，FD才能取得最大值，即FD=CD=2，
∵旋轉角度為0°＜α＜360°，
∴當α=90°或270°時，△CAD的面積最大，最大面積是2$\sqrt{3}$，
故答案為：90°或270°，2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、平行線的判定等知識點，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵