Question

如圖，點E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF與DE交于點O，點H是EF的中點，連接OH．
（1）求證：AB=DC；
（2）試判斷OH與EF存在怎樣的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由BE=CF，等式左右兩邊都加上EF，根據圖形得到BF=CE，再由已知的兩對角相等，利用AAS可得出三角形ABF與三角形DCE全等，由全等三角形的對應邊相等可得出AB=DC，得證；
（2）OH與EF垂直，理由為：由三角形ABF與三角形DCE全等，得到一對角相等，再由等角對等邊得到OE=OF，根據H為EF的中點，利用三線合一得到OH垂直于EF．

解答：（1）證明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∵

∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE

，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC；

（2）解：OH⊥EF，理由為：
∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，又H為EF的中點，
∴OH⊥EF．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．