Question

【題目】如圖，已知拋物線 與 軸交于A、C兩點，與 軸交于點B，在拋物線的對稱軸上找一點Q，使△ABQ成為等腰三角形，則Q點的坐標是____.

Answer 1

【答案】Q1，Q2，Q3（2，2），Q4（2，3）

【解析】

先求得點A和點B的坐標，由頂點式知拋物線的對稱軸為直線x=2，設拋物線的對稱軸上的點Q的坐標為，分別求得，并用含的代數式表示的長，分三種情況構造方程求得的值.

如圖，

拋物線的對稱軸為直線x=2

當y=0時，

（x-2）2-1=0

解之：x1=3，x2=1

∴點A的坐標為（1，0）

當x=0時，y=3

∴點B（0，3）

設點Q的坐標為（2，m）.

∴AB2=32+1=10，BQ2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ2=m2+1，

要使△ABQ為等腰三角形，

當AB2=BQ2時，則（m-3）2+4=10,

解之：m1= ， m2= ，

∴點Q1 ， Q2.

當BQ2=AQ2時，則（m-3）2+4=m2+1,

解之：m=2

所以點Q2（2，2）；

當AB2=AQ2時，則10=m2+1,

解之：m=±3

若m=-3，則點B、A，Q在同一直線上，

∴m=-3舍去，

∴點Q4（2，3）

故答案為：，Q2，（2，2），（2，3）