Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝2，∠B＝30°，正六邊形DEFGHI完全落在Rt△ABC內，且DE在BC邊上，F在AC邊上，H在AB邊上，則正六邊形DEFGHI的邊長為_____，過I作A1C1∥AC，然后在△A1C1B內用同樣的方法作第二個正六邊形，按照上面的步驟繼續下去，則第n個正六邊形的邊長為_____．

Answer 1

【答案】， （）n﹣1×（）n．

【解析】

如圖，連接AG，延長HG交AC于J．則易知AJ＝JF＝CF，設EF＝a，則EC＝a，CF＝a．構建方程求出a，探究規律利用規律即可解決問題；

解：如圖，連接AG，延長HG交AC于J．則易知AJ＝JF＝CF，設EF＝a，則EC＝a，CF＝a．

∴3CF＝AC，

∴a＝AC，

在Rt△ABC中，∵AB＝2，∠B＝30°，

∴AC＝AB＝1，

∴a＝，

易知A1C1＝a，

∴第二個正六邊形邊長為： ××＝（）1×（）2，

同法可得第三個正六邊形的邊長為：＝（）2×（）3，

∴第n個正六邊形的邊長為：（）n﹣1×（）n，

故答案為：，（）n﹣1×（）n；