Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD、BD的長分別是方程x2﹣2x+（m2﹣2m+13）＝0的兩個實數(shù)根．

（1）若∠ADC＝15°，求CD的長；

（2）求證：AC+BC＝CD．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)AD、BD的長分別是方程x2﹣2x+（m2﹣2m+13）＝0的兩個實數(shù)根，可以求得AD、BD的長，從而可以求得∠DBA和∠DAB的度數(shù)，由∠ADC=15°，可以求得∠ABC的度數(shù)，作輔助線DE⊥CD于點E，從而可以求得CD的長；（2）作輔助線DE⊥BC于點E，DF⊥CA交CA的延長線于點F，畫出相應的圖形，然后進行靈活變化，即可證明所要證明的結論．

解：（1）∵AD、BD的長分別是方程x2﹣2x+（m2﹣2m+13）＝0的兩個實數(shù)根，

∴△＝，

又∵

∴m﹣1＝0，得m＝1，

∴ ，

解得，，

即AD＝BD＝，

∵AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝∠DBA＝45°，

作DE⊥BC于點E，如下圖一所示，

∵∠ADC＝15°，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ADC＝15°，∠CDB＝75°，

∴∠DBE＝∠DBA+∠ABC＝60°，

∴∠DCE＝180°﹣∠CDB﹣∠DBE＝45°，

∵BD=，

∴DE＝BDsin60°＝，

∵∠DEC＝90°，DE＝，∠DCE＝45°，

∴CD＝；

（2）證明：作DE⊥BC于點E，DF⊥CA交CA的延長線于點F，如下圖二所示，

由（1）可得，DE＝EC，

∵∠DEC＝∠ECA＝∠CFD＝90°，

∴四邊形CFDE是正方形，

∴DF＝CE，

∵∠AFD＝∠BFD＝90°，DA＝DB，

∴在Rt△AFD和Rt△BED中

∴Rt△AFD≌Rt△BED（HL），

∴BE＝AF，

∴BC+AC＝BE+CE+AC＝AF+AC+CE＝CF+CE＝2CE，

∵，

∴BC+AC＝2CE＝＝，

即AC+BC＝CD．