Question

3．小明研究了以下一種二叉圖形的結點（）數，如圖，一層二叉樹的結點總數為1，二層二叉樹的點總數為3，三層二叉樹的結點總數為7，…照此規律，你認為八層二叉樹的結點總數為（　　）

• A． 127
• B． 168
• C． 255
• D． 512

Answer 1

分析 觀察圖形可知每增加一層，二叉樹的結點總數會比前一個多出2^n-1個，而n層二叉樹的結點總數為1+2+2²+2³+…+2 ^n-1是一個等比數列的和，即$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，再把n=8代入即可求解．

解答 解：由圖可知
一層二叉樹的結點總數為1，
二層二叉樹的點總數為3=1+2
三層二叉樹的結點總數為7=1+2+4=1+2+2²，
四層二叉樹的結點總數為1+2+2²+2³，
…
n層二叉樹的結點總數為1+2+2²+2³+…+2 ^n-1=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1
所以八層二叉樹的結點總數為：2⁸-1=255
故答案為：C

點評 本題主要考查了圖形的變化規律，解本題的關鍵是根據圖形的變化規律發現每增加一層，二叉樹的結點總數會比前一個多出2^n-1個，從而得到一個等比數列．先找到一般方法再代入特殊值求解．