Question

已知：用兩個邊長為3全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且，把一個含60°的三角尺與這個菱形疊合；如果使三角尺60°的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角尺繞A點按逆時針方向旋轉（旋轉角小于60°）．

（1）當三角尺的兩邊與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F．
①BE、CF有何數量關系，并證明你的結論．
②接EF，求△CEF面積的最大值．
（2）連接BD，在旋轉過程中三角尺的兩邊分別與BD相交于點M、N，是否存在以BM、MN、ND為邊的直角三角形？若存在，求BM的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，∠BAC=60°，AB=AC，
又∵∠EAF=60°，且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC，∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ABE，AE=AF，
又∵等邊△ABC的邊長為3，且S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF，S_△ABC=S_△AEC+S_△ABE，
∴S_{四邊形AECF}=S_△ABC=×3×=，
∴S_△ECF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF=S_△ABC-S_△AEF=-S_△AEF，
又∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF為等邊三角形，
∴三角尺運動過程中，當AE⊥BC時，S_△AEF最小，S_△ECF最大，
∴當AE⊥BC時，AE=，S_△AEF=××=，
則S_△ECF=-S_△AEF═-=；
（3）將△ABM繞點A逆時針旋轉120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，
∵△ADP≌△ABM，
∴∠PAD=∠BAM，
又∵∠EAF=60°，∠CAD=60°，∠EAC=∠EAF-∠ACF=60°-∠ACF，
∠DAF=∠CAD-∠ACF=60°-∠ACF，
∴∠EAC=∠DAF，
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°，
又∵在△AMN和△APN中，
，
∴△AMN≌△APN（SAS），
∴MN=PN，
又∵在△PND中，MN=PN，BM=PD，
∴△PND即為以MN，BM，ND為邊的三角形，
易知∠PDN=60°，
所以△PND為直角三角形的情況分為兩種：
①∠PND=90°，如圖4所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3，
∴ND=PD，PN=PD，
則BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3=PD+PD+PD，
則BM=PD=3-3；

②∠NPD=90°，如圖5所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3，
∴ND=2PD，PN=PD，
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3=PD+2PD+PD，
則BM=PD=．
分析：（1）①BE=CF，理由為：由三角形ABC與三角形ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到一對角相等，一對邊相等，利用等式的性質得到另一對角相等，利用ASA得到三角形ABE與三角形ACF全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
②由三角形ABE與三角形ACF全等，得到兩三角形面積相等，AE=AF，根據等邊三角形ABC的邊長為3，求出四邊形AECF的面積，即為三角形ABC的面積，表示出三角形ECF的面積，當AE垂直于BC時，三角形AEF面積最小時，三角形ECF面積最大，求出此時AE的長，確定此三角形AEF的面積，即可求出三角形ECF面積的最大值；
（2）將△ABM繞點A逆時針旋轉120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，由三角形ADP全等于三角形ABM，得到對應角∠PAD=∠BAM，再由∠EAF=60°，∠CAD=60°，利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS得到三角形ADP與三角形ABM全等，利用全等三角形的對應邊相等得到MN=PN，又在△PND中，MN=PN，BM=PD，故△PND即為以MN，BM，ND為邊的三角形，易知∠PDN=60°，所以△PND為直角三角形的情況分為兩種：①∠PND=90°，如圖4所示，求出此時BM的長；②∠NPD=90°，如圖5所示，求出此時BM的長即可．
點評：此題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，利用了分類討論及數形結合的思想，是一道綜合性較強的探究題．