Question

11．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在邊CD上，且DE=1．

感知：如圖①，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；
探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
應用：如圖③，若EF交AB邊于點F，其他條件不變，且△PEF的面積是3，則AP的長為2．

Answer 1

分析 感知：先利用矩形性質得：∠D=∠C=90°，再利用同角的余角相等得：∠DAE=∠FEC，根據已知邊的長度計算出AD=CE=3，則由ASA證得：△ADE≌△ECF；
探究：利用兩角相等證明△PDE∽△ECF；
應用：作輔助線，構建如圖②一樣的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，則$\frac{DE}{FG}=\frac{PE}{EF}$，所以$\frac{PE}{EF}=\frac{1}{3}$，
再利用△PEF的面積是3，列式可得：PE•EF=6，兩式結合可求得PE的長，利用勾股定理求PD，從而得出AP的長．

解答 證明：感知：如圖①，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵DE=1，CD=4，
∴CE=3，
∵AD=3，
∴AD=CE，
∴△ADE≌△ECF（ASA）；
探究：如圖②，∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∵EF⊥PE，
∴∠PEF=90°，
∴∠DEP+∠FEC=90°，
∴∠DPE=∠FEC，
∴△PDE∽△ECF；
應用：如圖③，過F作FG⊥DC于G，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$PE•EF=3，
∴PE•EF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴$\frac{DE}{FG}=\frac{PE}{EF}$，
∴$\frac{PE}{EF}=\frac{1}{3}$，
∴EF=3PE，
∴3PE²=6，
∴PE=$±\sqrt{2}$，
∵PE＞0，
∴PE=$\sqrt{2}$，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD-PD=3-1=2，
故答案為：2．

點評 本題考查了矩形、相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定；難度適中，運用類比的方法解決問題，從感知、探究和應用，逐漸引導學生利用全等或相似解決問題，如果圖形中沒有全等或相似的三角形，要作輔助線構建，此類題培養了學生的思維能力．