Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.

Answer 1

（1）見解析   （2）PA=PB=AB=2.

（1）證明：連接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°－30°－30°=120°.
∵PA切⊙O于點A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線.
（2）解：連接OP.∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∠OPA=
∠OPB=∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA= ==2.
∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2.