Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點（不與B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．

（1）求證：；

（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；

（3）當的值為多少時，△FDG為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FD與DG垂直，理由見解析；（3）當時，△FDG為等腰直角三角形，理由見解析.

【解析】

（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC∽△EGC，由兩個角對應相等即可證得；

（2）由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，從而不難得到結論；

（3）先判斷出DF＝DG，再利用同角的余角相等判斷出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出結論．

（1）證明：在△ADC和△EGC中，

∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，

∴△ADC∽△EGC．

∴．

（2）解：FD與DG垂直．

理由如下：

在四邊形AFEG中，

∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，

∴四邊形AFEG為矩形．

∴AF＝EG．

∵，

∴．

又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，

∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，

∴△AFD∽△CGD．

∴∠ADF＝∠CDG．

∵∠CDG+∠ADG＝90°，

∴∠ADF+∠ADG＝90°．

即∠FDG＝90°．

∴FD⊥DG．

（3）解：當的值為1時，△FDG為等腰直角三角形，理由如下：

由（2）知，∠FDG＝90°，

∵△DFG為等腰直角三角形，

∴DF＝DG，

∵AD是BC邊上的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADG+∠CDG＝90°，

∵∠FDG＝90°，

∴∠ADG+∠ADF＝90°，

∴∠ADF＝∠CDG，

∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∴△ADF≌△CDG（AAS），

∴AD＝CD，

∵∠ADC＝90°，

∴∠C＝45°＝∠B，

∴AB＝AC，

即：當的值為1時，△FDG為等腰直角三角形．