Question

（本小題滿分10分）如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求證：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的長。

Answer 1

（1）見解析 （2）AB=6

【解析】

試題分析：（1）根據△AEO和△CFO全等來進行說明；（2）連接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度數，根據∠BAC的正切值求出AB的長度.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF

∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF

（2）連接BO ∵OE=OF BE=BF ∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90°

∵四邊形ABCD是矩形 ∴∠BCF=90° ∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA

∴∠BAC=∠EOA AE=OE ∵AE=CF OE=OF ∴OF=CF 又∵BF=BF ∴Rt△BOF≌Rt△BCF

∴∠OBF=∠CBF ∴∠CBF=∠FBO=∠OBE ∵∠ABC=90° ∠OBE=30°

∴∠BEO=60° ∠BAC=30° ∵tan∠BAC= ∴tan30°= 即 ∴AB=6.

考點：三角形全等的證明、銳角三角函數的應用.