Question

29、如圖，正方形OEFG繞著正方形ABCD的對角線的交點O旋轉，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設正方形OEFG的對角線OF與邊AB相交于點P，連接PM．若正方形ABCD的邊長為12，且PM=5，試求AM的長．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質得到∠OAM=∠OBN，OA=OB，∠AOM=∠BON，從而證明△AOM≌△BON，問題得證；
（2）利用上題證得的全等三角形可以得到BN=AM，設AM=x，然后表示出AP，在直角三角形AMP中利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：（1）∵O為正方形ABCD的對角線的交點，
∴∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，∠AOB=90°．（1分）
又∵∠EOG=90°，
∴∠EOG-∠AON=∠AOB-∠AON，即∠AOM=∠BON．（2分）
在△AOM和△BON中，
∵∠OAM=∠OBN，OA=OB，∠AOM=∠BON，
∴△AOM≌△BON．（ASA）（3分）
∴OM=ON．（4分）
（2）∵OF為正方形OEFG的對角線，
∴∠POM=∠PON=45°．
又∵OM=ON，OP=OP，
∴△POM≌△PON．（SAS）（5分）
∴PM=PN．
又∵PM=5，
∴PN=5．（6分）
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM．（7分）
設AM=x，則AP=AB-PN-BN=12-5-x=7-x．（8分）
在Rt△AMP中，
∵AM²+AP²=PM²，
∴x²+（7-x）²=25．（9分）
化簡得x²-7x+12=0．
解這個方程得x₁=3，x₂=4．
∴AM的長為3或4．（10分）

點評：本題考查了旋轉的性質，解決此類問題的關鍵是正確的利用旋轉不變量．